Radon-Nikodym theorem

수학 2014. 5. 15. 05:20

얼마 전에 연습문제 중 하나로 이 정리의 또 다른 증명을 봤는데 너무 깔끔해서 혹시나 했더니 이게 von Neumann의 증명이란다.

(Radon-Nikodym) Let $(X,\Lambda )$ be a measurable space, let $\mu$ be a $\sigma$ -finite positive measure on $(X,\Lambda )$ , and let $\nu$ be a finite signed or complex measure on $(X,\Lambda )$ . If $\nu$ is absolutely continuous with respect to $\mu$ , then there is a function $g\in L^1(X,\Lambda ,\mu ,\mathbb{R})$ or $L^1(X,\Lambda ,\mu ,\mathbb{C})$ such that $\nu (A)=\int_{A} gd\mu$ for each A in $\Lambda$ . The function g is unique up to $\mu$ -almost everywhere equality.

(proof due to von Neumann)

사실상 $\mu$ 와 $\nu$ 가 finite positive measure일 때만 보이면 충분하다. 유일성도 어렵지 않으니 가장 핵심 부분의 증명을 보자.

$F(f)=\int fd\mu$
으로 정의되는 F는 bounded linear functional on $L^2(X,\Lambda ,\mu +\nu ,\mathbb{R})$ 이고 $L^2(X,\Lambda ,\mu +\nu ,\mathbb{R})$ 는 Hilbert space이므로 모든 f에 대해 $F(f)=\int fgd(\mu +\nu )$ 를 만족하는 g가 $L^2(X,\Lambda ,\mu +\nu ,\mathbb{R})$ 에 존재한다. 여기까진 L^2가 Hilbert space임을 이용한 관찰같다. 그리고 두 measure 합에 대한 공간으로 놓고 보는 저런 교묘함.

$F(f)=\int fd\nu=\int fgd(\mu+\nu)$

에서 g는 서로 다른 measure의 integral을 잘 저울질해주는데 모든 f에 대해서 성립해야 하니 g는 0이상 1이하일거란 느낌이 든다.

식을 정리하면

$\int f(1-g)d\nu=\int fgd\mu$

이 되는데 만약 $A=\left \{ g<0 \right \}$ 가 $\mu$ -null set이 아니면 큰일난다. f는 characteristic function of A로 놓고 $A=\bigcup_{n} \left \{ g<-\frac{1}{n} \right \}$ 로 표현하면 망함이 눈에 보인다.

$A=\left \{ g>1 \right \}$ 가 $\mu$ -null set임은 더 분명하게 보인다.

이제 저 위의 식에 $f=\frac{\chi _A}{1-g}$ 를 대입하고 싶지만 분모가 0가 될 수도 있다. 그렇지 않음을 보이기 위해 $A=\left \{ g=0 \right \}$ , $f=\chi _A$ 을 $F(f)=\int fd\nu=\int fgd(\mu+\nu)$ 에 대입하면 $\nu (A)=\mu (A)+\nu (A)$ , 따라서 $\mu (A)=\nu (A)=0$ 이 된다. 여기서 absolute continuity조건이 쓰였다. 그래야 안심하고 양변에 $f=\frac{\chi _A}{1-g}$ 를 대입할 수 있다. 계획대로 대입하면 최종을 얻는다.