Schur`s theorem

난 올림피아드를 하지 않앗는데도 Schur란 이름이 올림피아드나 경시문제 쪽에서 이름이 많이 들린다.

정확히 어떤 분야를 햇는지는 몰라도 대단한 사람인듯.

여튼 Schur는 다음을 증명햇다.

모든 자연수 n>1와 충분히 큰 prime p에 대해

를 만족하는 nontrivial root (x,y,z)가 항상 잇다. FLT의 합동식 버전처럼 보인다.

보통 2차일 땐 일반적인 꼴은 Hilbert symbol의 도움을 받아서 해결할 수 잇다(더 나아가서 일반적으로 n개의 변수에 대해, 정수해가 잇는지 없는지 판별해주는 알고리즘이 잇다. n이 5이상일때는 정수해가 항상 잇엇던가...)

(Actual) Schur`s theorem

다시 본론으로 돌아가서, 집합 를 n개로 분할하자. 만약 어떤 a,b,c가 하나의 분할안에 있어서 a+b=c를 만족하면 이를 Schur triple이라 부른다. 그러면 모든 자연수 n에 대해, [S(n)]를 n개의 클래스로 어떻게 분할하든 Schur triple이 존재하게 하는 S(n)이 존재한다.

증명은 Ramsey thm의 간단한 응용. n개의 분할하는 것을 n개의 색으로 칠한다고 생각한다. complete graph K_k의 edge를 n개의 색으로 칠할때 단색 삼각형이 존재하게 되는 k가 항상 잇다. 이러한 k를 고정하고, vertex set [k]를  로 색칠한다. 다시 edge set 에 edge (i,j)를 로 coloring한다. k의 choice에 따라, 단색 삼각형 (m,n,l)이 잇고 이때 a=n-m, b=l-n, c=l-n로 놓으면 증명 끝.

이 정리를 이용하면 저 위의 nontrivial root의 존재성은 multiplicative group 의 subgroup 으로 생성되는 coset들을 생각함으로써 corollary로 따라온다.