Hilbert thm 90

Hilbert가 평생동안 theorem을 100개 넘게 만들엇다는데 그 중에서 90번째다.

물론 그 정리들 다 본게 아니고 이 정리가 cyclic extension을 푸는데 도움이 되기 때문에 Hungerford 책에 잇엇고 단지 그걸 공부한 것이다.

Thm. 

F/K를 cyclic extension of finite degree n이라 하고 Galois group이 로 generated 된다고 하자. 그럼 다음이 성립한다.

(1) for some v in F.

(2) for some v in F.

증명.

먼저 저런 v가 잇으면 trace나 norm이나 저리 된다는 건 자명하다. T(u)=0라 해보자. 우선 T(w)=1을 만족하는 w가 F에 존재한다(은 linearly independent over F. trace가 nonzero가 되게 하는 원소 아무거나 잡은 후에 scaling). 이제 라 하고(...!) 를 계산하면 u를 얻는다.

N(u)=1라 해보자. 가 nonzero가 되게 하는 y가 잇고 계산으로 을 얻는다.

참... 증명을 보면서 나도 저런 센스를 가졋으면 얼마나 좋을까 하고 생각한다. 물론아이디어가 정말 노력의 결과일수도 잇다. 내가 한시간 두시간 고민해서 내놓은 솔루션이 남들이 정말 tricky하다고 몇번 들은적이 잇다. 하지만, 알고나서 그런것일수도 잇지만, 센스가 좀만 더 좋으면 시간이 오래 걸리지 않고도 생각해볼수 잇는 솔루션이엇다. 좀 tricky한 것들을 잘 하고 싶고 다양한 아이디어를 내놓고 싶다.

주절주절은 그만하고 이 thm의 간단한 응용을 보자.

의 유리수해를 찾을 것이다. (D는 square-free)

F/K를 f라 하자. 이라 setting하고 Hilbert thm 90을 이용하면,

   

을 얻는다. D가 1이면 (x,y)는 피타고라스 솔루션.