Some estimations with the maximum modulus principle

저번에도 비슷한 주제로 하나 썻지만 estimation이 이루어지는걸 보면 논리가 참 간드러진다. Tricky하고 센스터지는 수학자들의 테크닉은 우리를 즐겁게 한다. 딱 처음보면 이런 보조함수를 왜 잡앗는지 감이 안 오기도 한다. 하지만 곰곰히 두고 보면 분명 이렇게 잡는데는 이유가 잇다.(글쎄 이런건 어떤 근본적인 걸 이해해서라기보단, 그냥 계산에 능한 직관 비슷한...) 문제는 아니 어떻게 이런 것들이 성립하는지 알수 잇는가 이거지. 증명됏으면 하는, 또는 원하는 형태의 proposition을 자주 써놓고 계속 증명되기를 고대하며 뚫어나가는 것인가?(신이 참/거짓을 말해준다면 그것만큼 큰 힌트도 없겟지) 현장에 잇으면 조금은 알수도 잇지 않을까? 어린 학생으로서 궁금할 뿐이다.

이만 각설하고 본론으로 들어가자. Maximum modulus principle은 정의역이 bounded region일 때만 쓸 수 잇는데, unbounded인 경우는 쓸 수가 없다. 그 예로 , 라고 바운더리에서 이지만 얘는 실수축에서 아주 빠르게 발산한다.

빠르게 발산하는 애가 쟤라면, '느리게' 발산하는 애는 어떨까. '느리게'라는 말은 다음과 같은 상황을 이를 수도 잇다. f가 entire고 라면 Cauchy estimate에 의해 f는 상수일 수 밖에 없다. 이는 루트 z가 느리게 발산하기 때문이다.

Phragmen, Lindelof는 첫째로, 우선 f가 bounded면 그 bound condition을 improve할 수 잇다는 것이고 둘째로, f가 느리게 발산하는 함수에 의해 bound되면 f는 bounded라는 것이다. 개인적으로 maximum modulus principle을 이용한 논리가 elegant하다고 느낀다.

Theorem 1.

라 하고 f가 omega의 closure에서 연속, omega에서 holomorphic, |f(z)| for 라 하자. 그럼 다음이 성립한다.

그럼 첫번째로, 가 성립함을 알 수 잇고 

두번째로, log M(x)가 convex function이라는 것이다.

pf.

만약 어떤 strip에 대해서 M값이 0면 그 함수는 0다. 만일 바운더리 M(a) 또는 M(b)가 0면 Schwartz reflection을 쓸 수 잇겟다. 그러니 M값 중에서 0는 없다고 하자. 그리고 strip의 M값을 잘 보존시키는 함수 로 normalize 해볼수 잇겟으니, M(a)=M(b)=1일 경우에 증명하자. 라 두면 이므로 , omega의 boundary에서 이다. 또한 이므로, 전체집합 에서 이다. 우변이 y가 커질때 0으로 수렴함을 확인하고, R을 에서 로 잘라낸 rectangle이라 하면, maximum modulus principle에 의해서 R 상에서. 따라서, for all z in the closure of Omega and for all epsilon. epsilon이 임의의 양수이므로,각각의 z에 대해서 epsilon을 0으로 보내면 |f(z)|<=1을 얻는다. 일반적인 경우는, 위에서 말햇던 것처럼, f/g를 고려하면 된다.(f/g의 M(a), M(b)는 1이다.) =

Theorem 2.

, f가 omega의 closure에서 연속, omega에서 holomorphic이라 하자. z=x+iy, 1보다 작은 alpha에 대해 이고 Omega의 바운더리에서 이라 하자. 그럼 전체 Omega에서도 라는게 thm이다.

alpha가 1보다 작다는게 crucial. alpha=1이면 f(z)=e^(e^z)로 반례가 잇다.

pf.

인 beta를 하나 fix하고, 양수 epsilon에 대해 라 하자.   

이므로 .

(저기서 cos값이 양수.)

따라서, 이제 x를 플러스마이너스 infinity로 보내면 저 지수부분이 -infinity로 간다. as . 이제는 다시 thm1과 같은 논리로 마무리하면 되겟다.

저 논리를 알고 잇다면 보조함수만 잡아도 거의 끝나는 증명.

좋은 exercise 두개를 소개할테니 관심잇는 사람은 함 생각해보시길...

(1) , , for some constants A, alpha라 하자. alpha가 1보다 작다고 하자. 라 하자.

그러면 open right plane Pi 전체에서도 이다. (alpha가 1일때는 거짓임을 확인하자)

Pi가 region bounded by two rays through the origin, at an angle not equal to 일때는 어떤가.

(2) 다시 라 하자.

Pi 전체에서 이고 인 alpha에 대해 r이 무한대로 갈때

라 가정하자. 그럼 f는 zero function이다.