약간의 topology를 이용한 소수의 무한성 증명

다른 분야의 용어가 하나로 섞이면 먼가 아름답다는 느낌을 주는데 이것도 그렇다

앞으로 할 증명은 기본 토대만 주면 그리 어렵지는 않다

우선 전체 집합을 정수집합으로 하고

basis를 양쪽으로 뻗어나가는 등차수열의 집합으로 준다(여기서 공차는 nonzero)

즉 open set들은 저런 basis들의 arbitrary union로 정의된다

topology를 이루는 이유는 먼저 등차를 1로 놓으면 전체집합이 나오고

두 등차수열의 intersection은 공집합이거나 두 공차의 lcm을 공차로 갖는 등차수열의 집합이기 때문이다

여기서 노트할 것은 한 등차수열집합은 (당연히) open이면서 closed인 것이다

그리고 모든 nonempty open set은 infinite set이다

자 이제 소수가 유한하다고 하고 를 0을 포함하고 등차가 p인 수열집합이라 하자

절대값이 1보다 큰 각 정수는 소수의 유한곱으로 표시된다(가 UFD이기 때문...)

(이 사실은 소수가 무한히 많고 안많고랑은 무관하다)

따라서 는 플러스 마이너스 1 뿐이다(여기서 union은 가정에 의해서 finite union)

그러나 저 union은 closed set의 finite union이어서 closed이다

따라서 그 complement는 open이므로 무한집합이어야 하는데 플러스마이너스 1은 그렇지 않다 모순!

여기서 말은 위상이라고 햇지만 소수의 무한성 다른 증명을 보다보면 비슷한 원리를 이용햇을 듯한 느낌을 받을것만 같다

출처 : Proofs from THE BOOK