A finite division ring is a field

division ring은 모든 nonzero element가 역수를 가지는 좋은 ring이다

대표적 예로 field가 잇고 field가 아닌 예로는 사원수가 잇다

제목이 말하는 바는 division ring이 finite하다면 무조건 field일수밖에 없다는 것이다

처음으로 증명한 사람은 Wedderburn thm으로 유명한 Wedderburn(세가지 증명을 제시햇다고 한다 ㅎㄷㄷ)이고 여기서 소개할 증명은 학부 수준의 algebra로 이해할수 잇는 Witt의 증명이다

우선 finite division ring R의 nonzero set 는 그 ring의 곱셈에 대해서 group을 이룬다(강ㅋ력ㅋ)

다시 zero를 포함한 ring에서 에 대해s의 stabilizer를 라 하고 를 R의 center라 하자

Z는 field를 이룬다. size를 q라 하자 R과 C_s는 Z를 base field로 해서 vector space를 이룬다(vector space 공리확인같은게 중요하다고 느끼는 요즘이다. 일단 된다고 합시다. 머 체크하는 것도 어렵지 않을테니) 여기서 각 dimension을 n, n_s라 하자

R이 field가 아니라고 가정하면 어떤 s에 대해서는이다. s를 포함하는 conjugacy class를 라 하자 그러면 이고 우리의 가정은 어떤 s에 대해서 라는 것이다

orbit-fixer counting formula에 의해, 모든 s에 대해

이고 이는 정수이다

원소를 두개 이상가지는 conjugacy class를 라 하자. 가정에 의해 t는 1 이상이다

class equation를 써보면

       또는       

을 이용하면 모든 i에 대해 n_i는 n을 나눈다(같지 않음도 쉽게 안다)

자 이제 을 n번째 cyclotomic polynomial이라 하자(정의와 기본적인 성질은 이쪽 참고, n-th root of unity를 공부하는데 많이 쓰이는 다항식이다)

이 다항식들은 놀랍게도 모두 정수계수 다항식들이다 정의에 의해 이다

증명을 위해 더 나아가면, 모든 i에 대해

 

따라서

         and        

class equation으로부터

하지만 이럴 수는 없다

왜냐하면 R과 Z에 다르다는 가정에서 n>1이고 따라서 의 각 product term들의 절댓값은 q-1보다 크기 때문이다. 기하학적으로 생각하면 쉽다(아직 블로그 포스팅 스킬이 부족해 그림까지는...쿨럭)

이로써 증명 끝.