skew-symmetric matrix의 determinant

A를 n by n skew-symmetric matrix, Pf(A)를 A의 Pfaffian(정의는 이쪽 참고)이라 하자

그러면 다음이 성립한다

 

굉장히 놀랍지 않은가!

Pfaffian의 정의에서도 보듯이, 만일 각 성분들이 문자들이엇다면 determinant는 그 문자들의 다항식의 제곱으로 나타난다는 것이다

더군다나 Pfaffian은 조합론에서도 쓰인다

정의에서 보면, 두개씩 짝지은것이 꼭 그래프에서 perfect matching을 연상시키게 하고

역시 matching을 조사하는데 쓰인다

이 모두는 다 Lovasz책에 소개되어 잇다

(정말 좋은책이라 생각한다. 저자가 헝가리 수학자로 조합론의 대가라고 한다...ㅋㅋ)

이 책의 특징은 서너문제가 하나의 스토리로 연결되어 잇는게 굉장히 많다는 것이다

(스토리를 천천히 따라가다 보면 왠만해선 풀수잇다)

여기에서도 스토리가 잇는데 저 위의 파격적인 등식을 증명하는게 스토리의 시작이다

시작부터 매우 골때린다 ㅋㅋㅋ증명하는데 하루를 넘기고 이틀 넘어가기전에 증명햇던거 같다

여튼 스토리의 끝은 다음과 같다

2n by 2n 체스보드를 두칸까지 블럭으로 채우는 경우의 수를 이라고 햇을때 다음이 성립한다

 

따라나오는 것으로 의 증가속도를 estimate할수 잇다

 

저 값이 구체적으로 무엇인지는 적분시도를 안해봐서 모르겟지만

적어도 상수인건 아니까 머...

코사인이 왜 나오는지는 chebyshev polynomial(참고)의 eigenvalue를 조사하면 된다

그나저나 위에 쓰여진 식들이 마구잡이로 쓴 식들이 아니라

다 조합론적으로 의미가 잇는 살아잇는 식들이라 참 놀랍고 아름답다고 느낄 뿐이다